1. Basic Set Theory

확률론에서 기본적으로 사용되는 집합론 내용을 정리한다

Basic Set Theory

집합 $A$ 와 $B$ 에 대해서 두 집합의 합집합(union) 과 교집합(intersection) 은 or 과 and 라는 논리연산으로 대응된다
- $x\in A\ \text{or }\ x\in B$ $\Longleftrightarrow$ $x\in A\cup B$
- $x\in A\ \text{and }\ x\in B$ $\Longleftrightarrow$ $x\in A\cap B$
위 연산은 유한개의 논리연산으로 확장할 수 있다
- $x\in A_{1}\ \text{or }\ x\in A_{2}\ \text{or }\ \cdots \ \text{or }\ x\in A_{n}$ $\Longleftrightarrow$ $x\in \bigcup_{i=1}^{n}A_{i}$
- $x\in A_{1}\ \text{and }\ x\in A_{2}\ \text{and }\ \cdots \ \text{and }\ x\in A_{n}$ $\Longleftrightarrow$ $x\in \bigcap_{i=1}^{n}A_{i}$
합집합, 교집합 연산은 일반적으로 다음과 같이 확장할 수 있다 : 어떤 index set $\mathcal{I}$ 가 있어서 $i\in\mathcal{I}$ 에 대해 집합 $A_{i}$ 들이 정의되어 있다고 하자. 이 때 index set $\mathcal{I}$ 에 대한 합집합과 교집합은 다음과 같이 정의한다

$x\in A_{i}\ \text{for some }i\in\mathcal{I} \ \Longleftrightarrow \ x\in\bigcup_{i\in\mathcal{I}}A_{i}$ $x\in A_{i}\ \text{for every }i\in\mathcal{I} \ \Longleftrightarrow \ x\in\bigcap_{i\in\mathcal{I}}A_{i}$

특별히 Index set $\mathcal{I}$ 가 자연수 집합 $\mathbb{N}$ 과 일대일대응 (이를 가산 무한집합(countable set)이라 부름) 이 되는 경우 다음과 같이 표기가 가능하다.

$\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i}\quad \bigcap_{i=1}^{\infty}A_{i}$

드 모르간의 법칙(De Morgan’s Laws) :

$\left(\bigcup_{i\in\mathcal{I}}A_{i}\right)^{c}=\bigcap_{i\in\mathcal{I}}A_{i}^{c},\quad \left(\bigcap_{i\in\mathcal{I}}A_{i}\right)^{c}=\bigcup_{i\in\mathcal{I}}A_{i}^{c}$

Probability Theory

Basic Set Theory